https://toanmath.com/  BÀI TẬP  Dạng   1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   ( ) y   f   x =   , trục hoành và hai đường thẳng   (   ) , x   a x   b a   b =   =   <  Câu 1.   Vi  t công th  c tính di  n tích hình ph  c gi  i h  n b    th    hàm s    (   ) y   f   x =   , tr  c  Ox   và các đườ ng th  ng   (   ) ,   . x   a x   b   a   b =   =   <  A.   (   )  b a f   x   dx    .   B.   (   ) 2  b a f   x dx    .   C.   (   )  b a f   x dx    .   D.   (   )  b a f   x dx        .  Câu 2.   Cho hàm s    (   ) y   f   x =   liên tục trên      và có      th    như h     bên. Hình ph   d  u trong hình v    bên có di  n tích là  A.   (   )   (   ) d   d  b   c a   b f   x   x   f   x   x        .   B.   (   )   (   ) d   d  b   c a   b f   x   x   f   x   x +       .  C.   (   )   (   ) d   d  b   c a   b f   x   x   f   x   x    +       .   D.   (   )   (   ) d   d  b   b a   c f   x   x   f   x   x        .  Câu 3.   Cho hàm s    (   ) f   x   liên t  c trên      , có đồ   th    như hình vẽ . G  i   S   là di  n tích hình ph  ng   c gi  i h  n b    th    hàm s    (   ) f   x   , tr  c hoành và tr  c tung. Kh   A.   (   )   (   )  0 d   d  d c   d S   f   x   x   f   x   x =          .   B.   (   )   (   )  0 d   d  d c   d S   f   x   x   f   x   x = −          .  C.   (   )   (   )  0 d   d  d c   d S   f   x   x   f   x   x = −   +       .   D.   (   )   (   )  0 d   d  d c   d S   f   x   x   f   x   x =   +       .  Câu 4.   Di  n tích c  a hình ph  ng   (   ) H    c gi  i h  n b    th    hàm s    (   ) y   f   x =   , tr  c hoành và  hai đườ ng th  ng   x   a =   ,   x   b =   (   ) a   b <   (ph  m trong hình v  ) tính theo công th  c:  O   x  y  c  b  a  (   ) y   f   x =  O   x  y  c   d (   ) y   f   x =  https://toanmath.com/  A.   (   )   d  b a S   f   x   x =      .   B.   (   )   (   ) d   d  c   b a   c S   f   x   x   f   x   x = −   +       .  C.   (   )   d  b a S   f   x   x =      .   D.   (   )   (   ) d   d  c   b a   c S   f   x   x   f   x   x =   +       .  Câu 5.   Cho hàm s    (   ) y   f   x =   liên t  c trên      và có đồ   th    (   ) C   là đường cong như hình bên. Diệ n tích hình ph  ng gi  i h  n b    th    (   ) C   , tr  ng th  ng   0 = x   ,   2 = x   (ph   A.   (   )  2 0   d f   x   x    .   B.   (   )   (   )  1   2 0   1 d   d f   x   x   f   x   x    +       .  C.   (   )   (   )  1   2 0   1 d   d f   x   x   f   x   x        .   D.   (   )  2 0   d f   x   x    .  Câu 6.   G  i S là di  n tích mi  n hình ph  m trong hình v    bên. Công th  c tính S là  A.   (   )   (   )  1   2 1   1 d   d S   f   x   x   f   x   x   =   +       .   B.   (   )   (   )  1   2 1   1 d   d S   f   x   x   f   x   x   =          .  C.   (   )  2 1 d S   f   x   x   =      .   D.   (   )  2 1 d S   f   x   x   = −      .  Câu 7.   Di  n tích hình ph  ng    c gi  i h  n b    th    hàm s    3   2 3 y   x   x       , tr  c hoành và hai   ng th  ng   1 x      ,   4 x      là  x  y  2  2  3  2  1  O  O   x  y  2 1 1   (   ) y   f   x =

Bài tập trắc nghiệm ứng dụng của tích phân có đáp án và lời giải

Luyenthitracnghiem.vn   50 BÀI TOÁN    NG D  NG TÍCH PHÂN TÍNH QU % NG ĐƯ ( NG V * T   CHUY , N Đ - NG  https://www.facebook.com/ vietgold   Trang 1  Luyenthitracnghiem.vn   Nguy / n Hoàng Vi 2 t  A. LÝ THUY   T  Một vật chuyển động theo phương trình   ( ) v t   trong khoảng thời gian từ   t   a =     t   b =   (   a   b <   ) sẽ di chuyển được quãng đường   ( )   dt  b a  s   v t =      .  B. BÀI TP     Câu 1:   Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc   (   ) km/h v   phụ thuộc thời gian   (   ) h t   có    chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh   (   ) 2;9 I   và trục đối xứng  song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song  với trục hoành. Tính quãng đường   s   mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm  tròn hàng phần trăm:  A.   (   ) 23, 25 km s   =   .   B.   (   ) 21,58 km s   =   .   C.   (   ) 15,50 km s   =   .   D.   (   ) 13,83 km s   =   .  BÀI TOÁN    NG D  NG T   PHÂN TÍNH QUNG NG  V  T CHUY   N  ! NGLuyenthitracnghiem.vn   50 BÀI TOÁN    NG D  NG TÍCH PHÂN TÍNH QU % NG ĐƯ ( NG V * T   CHUY , N Đ - NG  https://www.facebook.com/ vietgold   Trang 2  Luyenthitracnghiem.vn   Nguy / n Hoàng Vi 2 t  Lời giải  Chọn B  Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật: Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là   ( )   2  v t   at   bt   c =   +   +  . Căn cứ vào đồ thị đã cho có  (   )  (   )  0 0  0   4 2 2 9  v b t   a v t  =      = −   =      =   2  4 4 9 2   2  c b   a b   b a   b   c a   a      =      = −                     +      +   =                          5 4 5 4  a b c     = −      =     =    . Vậy   ( )   2 5   5   4, 0   1 4  v t   t   t   t = −   +   +         và   ( )   ( )   31 1   ,1   3 4  v t   v   t =   =         . Vậy   ( )   ( )  1   3 0   1  s   v t dt   v t dt =   +      3 1   2 0   1  5   31 5   4 4   4  t   t   dt   dt      =      +   +   +                73   31   259   21,58 12   2   12  =   +   =        Câu 2:   Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc   (   ) km/h v   phụ thuộc thời gian   (   ) h t   có     (   ) 2;9 I   và trục đối xứng song  song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường   s   mà vật di chuyển được trong 3  giờ đó  A.   (   ) 24, 25 km s   =   .   B.   (   ) 26, 75 km s   =   .   C.   (   ) 24, 75 km s   =   .   D.   (   ) 25, 25 km s   =   .  Lời giải  Chọn C

50 bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động

  b a NGUY    &    NG D  NG  B        B  N D   C SINH  L   t c    nh  ng g   n c  n   bi  t   v    t   .  S    n   a:   ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...Tương lai khóc hay cư  i là ph    thu  c vào đ    lư  i c  a ngày hôm nay”!   09411.02468     0987.154.555  Trang   1   |  bs & st:   Thông Đình Đình  L  p toán th  y Thông Đình Đình:   -------------   D  Y TH  T      H  C TH  T      GI    TR    TH  T ---------------  PH  N   M  C L  C  B      01  Chuy        1:   NGUY     N      NGUY    H     R  NG      VI   PH    1     B    t  p R   n:   -------------------------------------------------------- - -----------------------------------   13  Chuy        2:   PH        -------------------------------------------------------- -   23     Ph    ph  :     i bi  n s      Ph      ng ph  n     B    t  p R   n:   -------------------------------------------------------- - - ----------------------------------   30  B      40  Ch uy        1: T     n   --------------------------------------------------------------------------------   40     B    t  p R   n:   --------------------------------------------------------------------------------   47  Ch uy        2 : T      b  ng ph       i   bi  n s    57     B    t  p R   n:   --------------------------------------------------------------------------------   65  Ch uy        3 : T      b  ng ph     t  ng ph  n   7 0     B    t  p R   n:   --------------------------------------------------------------------------------   72  Ch uy        3 : T      H     n   7 7     B    t  p R   n:   -------------------------------------------------------------------------------- ----------   8 2  B    3 :    NG D  NG   T     96  Ch uy        1: Di  n   t    ng   -------------------------------------------------------- - -----------   96  C huy        2: Th    t   t th    tr    xoay   -------------------------------------------------------- -   100     B    t  p R   n:   -------------------------------------------------------------------------------- -----------   104  Chuy        3: B    c t    -       th      c bi  t   1 22     B    t  p R   n:   -------------------------------------------------------- - ----------------------------------   129    C GIA 2020 - 2021

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Bùi Đình Thông

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.   (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021)   Cho        6 0 d   10 f   x   x       và        4 0 d   7 f   x   x      thì        6 4 d f   x   x    bằng:  A.   17    .   B.   17   .   C.   3   .   D.   3    .  Câu 2.   (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021)   Họ các nguyên hàm của hàm số        4   2 5   6   1 f   x   x   x          là  A.  4 3 2   2 4  x   x   x   C          .   B.   5   3 2 x   x   x   C          .  C.   5   3 20   12 x   x   x   C          .   D.   3 20   12 x   x   C       .  Câu 3.   (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021)  0 3 1   d 1   x x        bằng  A.   2ln 2   .   B.   2ln 2    .   C.   2ln 2   1    .   D.   ln 2   .  Câu 4.   Tính tích phân   2 1 1   1  e I   dx x   x                    A.   1  I   e     B.   1   1 I   e        C.   1 I      D.   I   e   Câu 5.   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021)   Giả sử   f   là hàm liên tục trên khoảng  K   và   ,   , a b c   là ba số bất kì trên khoảng   K   . Khẳng định nào sau đây sai?  A.   (x) dx   (t) dt  b   b a   a f   f        .   B.       (x) dx   (x) dx   (x) dx,   ,  c   b   b a   c   a f   f   f   c   a b                 .  C.   (x) dx   1  b a f       .   D.   (x) dx   (x) dx  b   a a   b f   f        .  Câu 6.   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021)   Nguyên hàm của hàm số               5 1   2 f   x   x       là:  A.         6 1   2 x   C       .   B.         6 1 1   2 2   x   C          .   C.         6 1   1   2 12   x   C          .   D.         6 5 1   2 x   C       .  Câu 7.   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021)   Cho        2 0 d   5 f   x   x       . Tính        2 0 2sin   d I   f   x   x   x                 A.   5   2  I         .   B.   7 I      .   C.   5 I         .   D.   3 I      .  Câu 8.   (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021)   Biết        8 1 d   2 f   x   x       ;        4 1 d   3 f   x   x       ;        4 1 d   7 g   x   x       . Mệnh đề nào sau đây sai?  A.              8   4 4   1 d   d   8 f   x   x   g   x   x           .   B.              4 1 d   10 f   x   g   x   x                .  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Chủ đề 3NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C.        8 4 d   5 f   x   x       .   D.              4 1 4   2   d   2 f   x   g   x   x                .  Câu 9.   (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021)   Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số       y   f   x    , trục hoành và hai đường thẳng   x   a    ,   x   b    trong hình dưới đây (phần gạch sọc) có diện tích   S  bằng  A.             d   d  c   b a   c f   x   x   f   x   x        .   B.             d   d  c   b a   c f   x   x   f   x   x        .  C.             d   d  c   b a   c f   x   x   f   x   x           .   D.             d   d  c   b a   c f   x   x   f   x   x           .  Câu 10.   (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021)   Họ nguyên hàm của hàm số         2 x f   x   e    là  A.   1 2  x e   C    .   B.   2 1 2  x e   C    .   C.   2 2   x e   C    .   D.   2   x e   C    .  Câu 11.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Cho hàm số       f   x   có       2   2 f      ,    3   5 f      ; hàm số      f   x    liên tục trên       2;3   . Khi đó        3 2 d f   x   x     bằng  A.   3   .   B.   10   .   C.   3    .   D.   7   .  Câu 12.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Họ tất cả nguyên hàm của hàm số         cos 2 f   x   x    là  A.   2sin 2 x   C    .   B.   1 sin 2 2   x   C       .   C.   1 sin 2 2   x   C    .   D.   2sin 2 x   C       .  Câu 13.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số         2 4   3  f   x   x       trên khoảng       1;      là  A.       2ln 4   3 x   C       .   B.        1 ln 4   3 2   x   C       .   C.        1 ln 4   3 4   x   C       .   D.       4ln 4   3 x   C       .  Câu 14.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Gọi   S   là diện tích miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với       y   f   x    là hàm số liên tục trên      . Công thức tính   S   là  A.        2 1 d S   f   x   x         .   B.        2 1 d S   f   x   x         .

Tổng ôn tập TN THPT 2021 môn Toán: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  BÀI 2: TÍCH PHÂN  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.  +   Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích  phân.  +   Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của  hàm số hợp.  +   Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tích  phân.     Kĩ năng  +   Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.  +   Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.  +   Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN  1. Định nghĩa tích phân    Cho hàm số       f   x   liên tục trên đoạn       ; a b   , với   . a   b   Nếu       F   x   là nguyên hàm của hàm số       f   x   trên đoạn      ; a b   thì giá trị             F b   F   a      hàm số       f   x   trên đoạn       ; a b   .  Kí hiệu                          b   b  a a  f   x dx   F   x   F b   F   a           (1)  Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –  Leibnitz;   a   và   b     tích phân.    Giả sử hàm số       y   f   x    là hàm số liên tục và không âm  trên đoạn       ; a b   . Khi đó, tích phân        b  a  f   x dx    chính là  diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong       y   f   x    ,  trục hoành   Ox   và hai đường thẳng   ,   , x   a x   b       với  . a   b        b  a  S   f   x dx      Chẳng hạn:         3  F   x   x   C       là một nguyên  hàm của hàm số         2  3 f   x   x    nên tích phân                      1   1  0 0  1   0 f   x dx   F   x   F   F                    3   3  1   0   1. C   C               Lưu ý:   Giá trị của tích phân không phụ thuộc  vào hằng số C.  Trong tính toán, ta thường chọn   0. C     Chẳng hạn:   Hàm số         2   2   1 f   x   x   x          có đồ  thị       C   và             2  1   0 f   x   x          , với   x       .  Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi       C   ,  trục Ox và hai đường thẳng   1 x      và   1 x     là              1   1  2  1   1  2   1 S   f   x dx   x   x   dx                      3   1  2  1  8   .  3   3  x   x   x                              Lưu ý:   Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình  thang cong”.  2. Tính chất cơ bản của tích phân  Cho hàm số       f   x   và       g   x   là hai hàm số liên tục trên  khoảng   K , trong đó   K   có thể là khoảng, nửa khoảng

Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân

Nguy      8+ 9+ 10  Trên b   c đư  ng thành công không  có dấu chân kẻ lười nhác. Gv Ths : Phạm Hùng Hải  Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTTHPTQG  TÀI LI  U LƯU HÀNH N  I B    Edition   20 2 1 Vận Dụng & Vận Dụng CaoNơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường  MỤC LỤC  Chương 3.   Nguyên Hàm - Tích Phân   1  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13   1 –   Nguyên hàm và tích phân của hàm số   f   ( x )   và   f    ( x )   13  |   Dạng 1. Dạng tích liên quan đến   f   ( x )   và   f    ( x )   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13  |   Dạng 2. Dạng tổng liên quan đến   f   ( x )   và   f    ( x )   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17   2 –   Nguyên Hàm 2.2   18  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23   3 –   Công thức tính nhanh diện tích hình phẳng   23  A A   Các công thức tính nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23  B B   Bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   29  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45   4 –   Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích phân   45  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   49   5 –   Tính diện tích hình phẳng dựa trên đồ thị hàm số phần 1   50  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   61   6 –   Tính diện tích hình phẳng dựa trên đồ thị hàm số phần 2   61  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   68   7 –      68  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82   8 –      82  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92   9 –   Bài toán thực tế diện tích hình phẳng   92  Bảng đáp án   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   100  i / 100   p   Th.S Phạm Hùng Hải         0905.958.921

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mức độ vận dụng và vận dụng cao có đáp án

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc    NH LÝ CƠ B  N C  A VI TÍCH PHÂN VÀ    NG D  NG  Th  y   Aki Le         P    P a  Trong bài vi  t nh    này, tôi s    trình bày đ  nh l   n c  a Vi tích phân và đưa ra m  t s     ng d  ng  c  a nó.          mu  n đưa ra m  t góc nhìn liên quan đ  nh lý   và không   có     nh   hư  ng đ  n vi  c h   th  ng các k  t qu    theo m  t tr  t t    có   h    th  ng .  1.     nh l   n c  a Vi tích phân      tránh s    phi  n hà, trong bài vi  t này tôi không đưa ra đ  nh nghĩa tích phân xác đ  nh. B  n     c có th   tham kh  o các cách ti  p c  n khác nhau trong các giáo trình căn b  n v    gi  i tích, ch  ng h  n s    d  ng  nguyên hàm; s    d  ng t  ng Riemann; s    d  ng t  ng Darboux. Trong bài vi  t này, tôi s    s    d  ng m  t s    k   hi  u sau: ( )   x   a  F x   =      thay cho ( ) F a   và d d   ( )  x F x       thay cho ( ) F   x     trong m  t s    trư  ng h  p c  n thi  t.       c th  a nh  n đ  nh nghĩa tích phân, ta còn th  a nh  n m  t s    tính ch  t c  a tích phân như:  V  i f   và g   th  a ( )d ,   ( )d  b   b a   a  f   x   x   g x   x       t  n t  i và các s    th  c ,   , c d   ta có các k  t qu    b    tr   1) d   0, 0  b a  x   =   2) (   ( )   ( ))( )d   ( )d   ( )d  b   b   b a   a   a  cf   x   dg x   x   x   c   f   x   x   d   g x   x +   =   +          ,  3) ( )d   ( )   ( )d  a b c a c   b  f   x   x   f   x dx   f   x   x =   +          n  u ( )  a c  f   x dx    và ( )d  b c  f   x   x    t  n t  i.  4)   N  u ( )   ( ) f   x   g x    v  i m  i [ ; ] x   a b    thì ( )d   ( )d .  b   b a   a  f   x   x   g x   x       Các tính ch  t khác c  a tích phân n  u đư  c s    d  ng s    ch  ng minh l  i.        c: 0 (   d )  a a  f   x   x   =   và . ( )   ( ) d   d   khi  b a a b  f   x x   b f   x   x   a = −         Trong lĩnh v  c s    h  c, đ  nh l     s    phân tích m  t s    t    nhiên ra th  a s    nguyên t    chính là Đ  nh l   b  n c  a S    h  c. Trong Đ  i s  , đ  nh l     t  n t  i nghi  m (ph  c) c  a đa th  c b  c l  n hơn b  ng m  t v  i h   s    ph  c chính là đ  nh lý cơ b  n c  a Đ  i s  . Tương t    như v  y, trong Gi  i tích/ Vi tích phân cũng có m  t    nh l   c g  i là Đ  nh l   n c  a Vi tích   phân. Đ  nh l    là c  u n  i   hai v  n đ    trung tâm c  a lĩnh v  c  Vi tích phân (đ  o hàm và tích phân).NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc    nh l   nh l   n c  a Vi tích phân)  Cho :[ , ] f   a b      là hàm liên t  c. Khi đó  i) ( ) :   ( )d ,   [ ,   ]  x a  G x   f t   t x   a b =       là m  t nguyên hàm c  a hàm f   trên [ ; ], a b   nghĩa là ( )   ( ) G   x   f   x     =   v  i m  i [ ; ]. x   a b   ii) V  i b  t k    nguyên hàm F   c  a f   trên [ ; ] a b   , ta đ  u có ( )d   ( )   :   ( )   ( )   (*)  b   b a a  f   x   x   F x   F b   F a =   =      .  Ch  ng minh đ  nh l   c b    qua vì vi  c ch  ng minh tùy thu  c vào đ  nh nghĩa c  a tích phân.   Th  m  chí SGK Gi  i tích 12 đã s    d  ng đ  nh lý này như đ  nh nghĩa c  a tích phân xác đ  nh.  M  t s    nh  n xét:          o hàm t  i (   )  a b   c  a G   có th    hi  u là đ  o hàm ph  i   (   o hàm trái )   ho  c đ  nh nghĩa d  a  vào s    m    r  ng hàm G   trên ( ;   )   [ ; ]. c d   a b      Ph  n th    nh  t, i), c  a Đ  nh lý cơ b  n c  a Vi tích phân có th    vi  t l  i dư  i d  ng (   )  d   ( )d   ( ). d  x a   f t   t   f   x x   =      Ph  n th    hai, ii), c  a Đ  nh lý cơ b  n c  a Vi tích phân đư  c bi  t như công th  c Newton -   Leibniz  và có th    phát bi  u l  i: N  u F   có đ  o hàm liên t  c trên [ ; ] a b   thì ( )d   ( )   ( ).  b a  F   t   t   F b   F a    =           nh l   n c  a Vi tích phân” là tên g  i cho   m  t     nh l    c    th    ch    không ph  i là cách chung  chung cho các đ  nh lý   căn b  n c  a Vi tích phân. Nó có vai trò quan tr  ng trong vi  c k  t n  i hai  khái ni  m quan tr  ng b  t nh  t c  a Vi tích phân, đó là đ  o hàm và tích phân. Đ  ng th  i đ  nh l   ta s    liên h    gi  a tích phân   xác đ  nh và tích phân b  t đ  nh.     Theo ph  n th    nh  t c  a Đ  nh l  ( )   ( )d  x a  G x   f t   t =      là m  t nguyên hàm c  a f   trên [ ; ] a b   và ( )   ( )d .  b a  G b   f t   t =       u này có v    mâu thu  n v  i ph  n th    hai c  a     nh l  ( )   ( )   ( )d .  b a  G b   G a   f t   t    =     Tuy nhiên     u này   không   có đi  u gì b  t    n . Ta có ( )   ( )d   0.  a a  G a   f t   t =   =    Do đó, ( )d   ( )   ( )   ( ).  b a   f t   t   G b   G a   G b =      = 

Định lý cơ bản của vi tích phân và ứng dụng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  M  T S    BÀI TOÁN TRONG TÍCH PHÂN  CÓ V  N D  NG PHƯƠNG TRÌNH HÀM  Th  y Nguy  n Ng  c Chi  Trư  ng THPT Kinh Môn      H  i Dương  Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích  phân và tính chất của hàm số hay t     nhiều khó khăn. Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ t hi Đại học, Cao đẳng hay  ngay trong quá trình dạy hầu như không xuất hiện các dạng tích phân cho dưới dạng phương trình hàm, vì  vậy sự quan tâm của giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có. Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình  thức thi môn Toán từ thi tự luậ n sang thi trắc nghiệm thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã xuất hiện  và khi dạy học vấn đề này cũng được các thầy cô và các em học sinh quan tâm hơn. Từ những lý do trên  tôi đã mạnh dạn viết bài nhở này để nói về một số bài toán tích phân có sử dụ ng phương trình hàm và cách  giải của chúng với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản, kết hợp các phương  pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán  Tích phân.  Nội dung chung của các bài toán dạng này là   yêu cầu   tính tích phân ( )d  b a  f x   x   nhưng chưa cho biết  hàm số ( ) f x   mà chỉ biết ( ) f x   thỏa mãn một phương trình hàm cho trước.  Phương pháp chung:  Cách 1:   S    d  ng các ki  n th  c v    phương trình hàm đ    tìm hàm s  ( ) f x   .  Cách 2:   Bi  u di  n hàm ( ) f x   qua hàm ( ) g x   mà ta có th    tính đư  c ( )d  b a  g x   x   .  D  ng 1. Tích phân liên quan đ  n bi  u th  c ( ).   ( )   ( ). ( )   ( ) u x   f   x   u   x   f x   g x  Phương pháp:  Ta có ( ).   ( )   ( ). ( )   ( )   [ ( ). ( )]   ( ) u x   f   x   u   x   f x   g x   u x   f x   g x   . Suy ra ( ). ( )   ( )d u x   f x   g x   x   . T      tìm đư  c ( ) f x   .NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Ví d    1.   Cho ( ) f   x   có đ  o hàm trên      0;1   th  a mãn 1 (1)   2018  f   = 2018  2018   ( )   .   ( )   2 f   x   x f   x   x  +   =   và   v  i      0;1 x   .Tính tích phân 1 0  ( ) I   f   x dx =     A . 1 2018.2019  I   B. 1 2019  I  C. 1   1 2018   2019  I   D. 1 I  Nh  n xét :   trư  c h  t ta đi tìm bi  u th  c ( ) u x   . Ta có 2018 2018 ln   ( )   ln   ( )   2018ln   ln   ( )   ln u x   dx   u x   x   c   u x   x   c x     =      =   +      =   +   nên ta ch  n 2018  ( ) u x   x =   , khi đó ta có l  i   gi  i như sau:  L  i gi  i  Ta có      2018   2017   2018   2017   2017   2018   4035  .   ( )   2018   ( )   ( )   2018   ( )   ( )   . 2   2 x   f   x   x   f   x   x   f   x   x   f   x   xf   x   x   x   x                  =   +   =   +   =   =            Khi đó 4036 2018   4035   2018  ( )   2   ( )   2018  x x   f   x   x   dx   x   f   x   c =      =   +    , do 1   1   1 (1)   2018   2018   2018  f   c =      =   + 0 c    = 4036   2018 2018   ( )   ( ) 2018   2018  x   x x   f   x   f   x    =      =  khi đó 1 1   1   2018   2019 0   0   0  1 ( )   2018   2019.2018   2018.2019  x   x I   f   x dx   dx       =   =   =   =               Ví d    2 . Cho hàm s  ( ) f x   có đ   c trên đo  [0;1]   . Bi  2  (   1).   ( )   ( )   3   2 x   f   x   f x   x   x   và (1)   1 f  . Tính tích phân 1 0  ( )d I   f x   x   .  A . 4   4 ln 2. 3  I   B. 3   4 ln 2. 4  I  C. 4   4 ln 2. 3  I   D. 4   4 ln 2. 3  I  L  i gi  i  Ta có 2   2  (   1)   ( )   ( )   3   2   [(   1) ( )]   3   2 x   f   x   f x   x   x   x   f x   x   x

Một số bài toán trong tích phân có vận dụng phương trình hàm

Câu 1.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      . Đồ thị của hàm số       ' y   f   x     Diện tích các hình phẳng       K   ,       H   lần lượt là   5   8 , 12   3   . Biết         19  1   12  f         , tính       2 f   .  A .         11  2   6  f      B .         2  2   3  f      C .       2   3 f      D .       2   0 f     Lời giải Chọn B       0 1  K S   f   x dx                      5  0   1   12  f   f                 0 f       5   19   2 12   12        .       2 0  H S   f   x dx                    8  2   0   3  f   f              2 f       8   2  2 3   3           .             0   2 1   0  S   f   x dx   f   x dx                                        5   8   0   1   2   0 12   13   f   f   f   f                     Câu 2.   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên      . Đồ thị hàm số       ' y   f   x    như hình vẽ dưới.  O   1   3   x 2 4 2  3   y  CHUYÊN ĐỀ  GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ                   2  2   1 g   x   f   x   x          . Mệnh đề nào dưới đây      ?  A.                3;3 1 Min g   x   g      .  B.                3;3 1 Max g   x   g      .  C.                3;3 3 Max g   x   g      .  D.   Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của       g   x   trên       3;3    .  Lời giải  Chọn B.  Ta có:                   '   2   '   2   1 g   x   f   x   x          ;                   '   0   '   1 1 g   x   f   x   x             .  Vẽ đồ thị đường thẳng   1 y   x       trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số       y   f   x     . Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng   1 y   x       cắt đồ thị hàm số       ' y   f   x    tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là   3;1;3    . Do đó     3  1   1  3  x x x                . Bảng biến thiên  Vậy                3;3 1 Max g   x   g      .  Câu 3.   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên      và có đồ thị hàm số       y   f   x     như hình vẽ. Đặt            2   5 S   f   f       , khi đó khẳng định nào là   

Ứng dụng tích phân giải bài toán liên quan đến so sánh giá trị hàm số

1  THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO LỚP 12 THPT  CREATED BY GIANG S  N ;   TEL   0333275320  TOÀN T  P NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN V  N D  NG CAO (CHUYÊN     PHIÊN B  N 20212  TOÀN TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO (CHUYÊN ĐỀ TÍNH TOÁN) __________________________________________________________________________________________________     A: TỪNG PHẦN, VI PHÂN (A1 ĐẾN A8)     B: NGUYÊN HÀM NÂNG CAO (B1 ĐẾN B8)     C: THAM SỐ, GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ (C1 ĐẾN C8)     D: HÀM ẨN TỔNG HỢP (D1 ĐẾN D8)     E: TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐỔI BIẾN, XÁC ĐỊNH HÀM (E1 ĐẾN E8)     F: HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN (F1 ĐẾN F8)     G: TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO (G1 ĐẾN G8)

Toàn tập nguyên hàm, tích phân vận dụng cao (chuyên đề tính toán)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường  MỤC LỤC  Chương 3.   NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   1   1 –   TÍNH NGUYÊN HÀM - SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, BẢNG CÔNG THỨC   1  A A   KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  B B   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 1. Áp dụng bảng công thức nguyên hàm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 2. Tách hàm dạng tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  |   Dạng 3. Tách hàm dạng phân thức thành tổng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  C C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14   2 –   TÍNH NGUYÊN HÀM – SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ   17  A A   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  |   Dạng 1. Đổi biến dạng hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  |   Dạng 2. Đổi biến dạng hàm phân thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19  |   Dạng 3. Đổi biến dạng hàm vô tỉ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20  |   Dạng 4. Đổi biến dạng hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22  |   Dạng 5. Đổi biến dạng hàm mũ, hàm lô-ga-rit   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24  B B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27   3 –   TÍNH NGUYÊN HÀM – SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN   30  A A   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   30  |   Dạng 1. Nguyên hàm từng phần với ”u = đa thức”   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   30  |   Dạng 2. Nguyên hàm từng phần với ”u = lôgarit”   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31  |   Dạng 3. Nguyên hàm kết hợp đổi biến số và từng phần   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   33  |   Dạng 4. Nguyên hàm từng phần dạng "lặp"   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35  |   Dạng 5. Nguyên hàm từng phần dạng "hàm ẩn" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36  B B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38   4 –   TÍNH TÍCH PHÂN - SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT   41  A A   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41  |   Dạng 1. Sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41  |   Dạng 2. Tách hàm dạng tích thành tổng các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45  |   Dạng 3. Tách hàm dạng phân thức thành tổng các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   47  B B   BÀI TẬP TỰ LUYỆN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51  i / 133   p   Th.S Nguyễn Hoàng Việt         0905.193.688

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Hoàng Việt

Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trườ ng THPT Nho Quan A   Ph    Tích Phân-Gi   File Word liên h  64165- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  mGiáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trườ ng THPT Nho Quan A   Ph    Tích Phân-Gi   File Word liên h  64165- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  M      .........................................................................3 A – LÝ THUY  ................................................3 B – BÀI T  ..............4 C –    .............. .. ..............................................................................21  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN V   ..........................................................................22 A – LÝ THUY  ........................................................................................22 B – BÀI T  ............22 C –     .. ..........................................................................................31  PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ..........................................................................................................32 A – LÝ THUY  32 B – BÀI T  ...........................................32 C –    . ...................................................................34  TÍCH PH  ..........................................................................................................................................35 A – LÝ THUY  35 B – BÀI T  ..........................................................................................................................35  PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẢNG NGUY   PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN V   PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN V  C –    ....................................................................44  TÍCH PHÂN T  ....................................................................................................................45   .........................................................................................59   .........................................................................................................60 A – LÝ THUY  .....................................................................................................60 B – BÀI T  ............60 C –    .. ......................................................................................74   ...........................................................................................................75 A – LÝ THUY  75 B – BÀI T  .... .. .....................................................75 C –    ............80

Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

  GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Trang 1  TỔNG HỢP GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN DƯỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX- 580 VNX  Tích phân là một trong những chuyên đề hay, có nhiều ứng dụng trong tính toán thực tế. Ngoài ra, tích phân cũng là một chuyên đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia từ những câu hỏi ở mức độ nhận biết đến các bài vận dung. Với hình thức thi Trắc nghiệm thì việc sử dụng máy tính thành thạo và hiệu quả giúp học sinh hạn chế tính nhẩm. tránh trường hợp sai số đáng tiếc (cầu trúc    Diễn đàn máy tính cầm tay   sẽ tổng hợp một số hướng giải quyết các dạng toán tiêu biểu của chuyên đề Tích phân trong các    fx - 580 VNX  Phụ lục  1.   TÌM NGUYÊN HÀM       F   x   CỦA HÀM SỐ       f   x   CHO TRƯỚC ............................................ 1  2.   TÌM NGUYÊN HÀM   ( ) F x   CỦA HÀM SỐ   ( ) f   x   CHO TRƯỚC THỎA ĐIỀU KIỆN  0 (   ) F x   M    .................................................................................................................................................. 5  3.   XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B,C TRONG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ............................................ 6  4.      .................................................... 10  5.     .................................... 13  6.      .............................. 18  1.   TÌM NGUYÊN HÀM       F   x   CỦA HÀM SỐ       f   x   CHO TRƯỚC     Thuật toán trên máy tính CASIO   (A)   (   ( )) i   x   A  d f   F x dx      f   : là hàm số cần xác định nguyên hàm  ( ) i F x   : là các đáp án nguyên hàm đã cho A: hằng số tự chọn thuộc tập xác định và có giá trị nhỏ     Thay lần lượt các đáp án vào   ( ) i F x   và chọn giá trị A thích hợp     Lựa chọn đáp án có kết quả xấp xỉ bằng 0:  GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY  Trang 2  Bài toán 1.1   Tìm nguyên hàm của hàm số 4   2 3 7   3   4 ( )   2   1  x   x   x  f   x   x           A.  2   3 ( )   (   2 )   1 f   x dx   x   x   x   C            B.  3   2 ( )   (   )   1 f   x dx   x   x   x   C            C.  2   3 ( )   (   1)   1 f   x dx   x   x   C            D.  3   3 ( )   (   )   1 f   x dx   x   x   x   C             Phân tích:   Hàm số   ( ) f   x   trên khá phức tạp do đó việc sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X  hơn.  Hướng dẫn giải  Thay   ( ) i F x   lần lượt bằng các đáp án và chọn A = 0    LOẠI    LOẠI    NHẬN    LOẠI  Khi làm bài thi các bạn không cần thử tất cả các đáp án trong đề mà chúng ta sẽ dừng ngay việc thay đáp án khi chọn được biểu thức đúng  Bài toán 1.2   Tìm nguyên hàm của hàm số   8sin 3   cos 2   sin 6 y   x   x   x   A.   2sin 5   2sin 7   2sin11 ( )   2sin   5   7   11  x   x   x f x dx   x   C                B.   sin 5   sin 7   sin11 ( )   sin   5   7   11  x   x   x f x dx   x   C              

Giải bài toán nguyên hàm – tích phân dưới sự hỗ trợ của máy tính Casio FX-580 VNX

Chuyên đ    7 :   Tích phân và    ng d  ng  448  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  Email :   dangnamneu@gmail.com  Yahoo: changtraipkt  Mobile: 0976266202  CHUYÊN Đ    7 :  TÍCH PHÂN VÀ    NG D  NGChuyên đ    7 :   Tích phân và    ng d  ng  449  Dang Thanh Nam  Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Chuyên đề Tích phân – Đặng Thành Nam

Truy c  p website   http://qstudy.vn/      tham gia Khóa H  cToán và các bài thi   Test năng lự c.  Th  y M  n Ng  c Quang  Page   1  0989 850 625  Daïng 1: ÑOÀNG NHAÁT HEÄ SOÁ - MAÃU COÙ DAÏNG TÍCH  Phương pháp hệ   s    b  nh: Khi m  u có th    phân tích thành nhân t  . Câu 1:   Cho 1 (   2)(   5)(   4)   (   2)   (   5)   (   4)                          A   B   C x   x   x   x   x   x  Khi đó tổ ng S   A   B   C          b  ng:  A. 1 18     B. 0   C. 1 14   D. 1 63    Gi  i: 1 (   2)(   5)(   4)   (   2)   (   5)   (   4) (   5)(   4)   (   2)(   4)   (   2)(   5)   1 1 )   2   14   1   14 1 )   5   63   1   63 1 )   4   18   1   18 0                                                                                                                A   B   C x   x   x   x   x   x A x   x   B x   x   C x   x x   A   A x   B   B x   C   C A   B   C    Bình lu  n:   Bài   toán này chúng ta s    tách phân s       m  u s    có tích thành các phân s      làm đươc điều này ta dùng phương pháp đồ ng nh  t h    s    .  Câu 2:   Cho 1 (   3)(   3)   3   3                    A   B   C x x   x   x   x   x   .   Khi đó 2 S   A   B   C          b  ng:  A. 1 18     B. 0   C. 1 18   D. 2 9    Gi  i: 1 (   3)(   3)   3   3  A   B   C x x   x   x   x   x                   1   (   3)(   3)   (   3)   (   3) A x   x   Bx x   Cx x                                         1 )   0   9   1   9  x   A   A                   1 )   3   18   1   18  x   B   B 1 )   3   18   1   18 2 2   9  x   C   C A   B   C                            Truy c  p website   http://qstudy.vn/      tham gia Khóa H  cToán và các bài thi   Test năng lự c.  Th  y M  n Ng  c Quang  Page   2  0989 850 625    Câu 3:   Cho các h  ng s  ,   ,    A B C   R   th  a mãn: 3   2  2   . 3   2   1   2                    A   B   C x   x   x   x   x   x  Khi đó . . P   ABC    b  ng:  A. 2   B. 1 2   C. 1   D. 2   Gi  i:                                                   (   1)(   2)   (   2)   (   1)   2 )   0   1 )   1   2 )   2   1  A x   x   Bx x   Cx x x   A x   B x   C 2 ABC        Câu 4.   Cho 2  2   3   1   1 . 2   1 2   1  x   A   B x   x   C x   x                   .   Khi đó tổ ng S   A   B   C          b  ng:  A. 1 3     B. 1 3   C. 2 3   D. 2 3    Gi  i: 2  2   3 2   1  x x   x        = 2   3 (2   1)(   1)  x x   x         = 4   1   5   1 .   . 3 2   1   3   1 x   x                      4   5   2 ,   ,   1 3   3   3  A   B   C   S   A   B   C                               Daïng 2: NHAÛY LAÀU  Câu 6:   Nguyên hàm c  a hàm      5 5  1 1  x I   dx x   x           có d  ng 5   5  ln   ln 1 a   x   b   x   C                    Khi đó 10 S   a   b       b  ng  A.   1   B.   2   C.   0   D. 3  Gi  i:                                                                          5   4   5   5 5 5   5 5   5   5   5  1   1 1   1   1   2 5   5   1 1   1  x   x dx   x   d x I   d x x   x x   x   x   x 5   5 1 ln   2ln 1 5   x   x   C                    Suy ra : 1 ,   2 5  a   b     10   0 a   b       

Nguyên hàm, tích phân chống casio – phân thức và đổi biến – Mẫn Ngọc Quang

CHUYÊN Đ  : NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN &    NG D  NG  I. PHƯƠNG PHÁP   DÙNG B  NG NGUYÊN HÀM  Câu 1:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         2   3   2 3 f   x   x   x   x           là:  A.  3   2 3   3   ln 4  x x   x   C          B.  3 3   3   2ln 4  x   x x   x   C         C.   2 3  4   2 6   3  x x   C x x           D.   3 3   2  4   2ln 3  x x   x   C x          Câu 2:   Nguyên   hàm   của   hà m   số            1  f   x   x   x   là:  A.   2   C x      B.   2   C x        C.   2  x   C    D.   2  x   C      Câu 3:   Nguyên   hàm   của   hà m   số             2  x   x   x f   x   x   là:  A.       2   1 x   C x        B.        2  2   1 x   C x        C.   2   3   x   C x        D.   1   2   x   C x       Câu 4:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         1 2   3  f   x   x        là:  A.            2  1 2   3   C x   B.              2  3 2   3   C x   C.        1 ln 2   3 3   x   C   D.           1 ln 3   2 3   x   C  Câu 5:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         3 5  f   x   x x        là:  A.       5 2 5ln   5  x   x   C   B.          5 2 5ln   5  x   x   C   C.          5 2 5ln   5  x   x   C   D.       5 2 5ln   5  x   x   C  Câu 6:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         5   2017 x  f   x   e        là:  A.   5   2017  5   x  e   C       B.   5   2018  5   x  e   C       C.  5   2017  5  x  e   C       D.  5   2016  5  x  e   C      Câu 7:   Nguyên   hàm   của   hà m   số              1 3 x  f   x   e   là:  A.               1 3  3   x  F   x   C e   B.                1 3  3  x  e F   x   C   C.             3  3   x  e F   x   C e   D.             3  3   x  e F   x   C e  PH  N 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM   NGUYÊN HÀM www.toanmath.comTÀI LI  U ÔN THI THPT QU  C GIA 2017   Page 2  BIÊN SO  N: TH  Y GIÁP MINH Đ  C TY1  Câu 8:   Nguyên   hàm   của   hà m   số             3   4 x   x  f   x         là:  A.        3   4 ln3   ln4  x   x  C   B.        3   4 ln4   ln3  x   x  C   C.        4   3 ln3   ln4  x   x  C   D.        3   4 ln3   ln4  x   x  C  Câu 9:   Nguyên   hàm   của   hà m   số             3.2 x  f   x   x       là:  A.       3 2   2 ln2   3  x  x   C   B.       3 2   2 3. ln2   3  x  x   C   C.       3 2   2 3.ln2   3  x  x   C   D.       3 2 3. ln2  x  x   C  Câu 10:   Nguyên   hàm   của   hà m   số            3   2  2 .3 x   x  f   x   là:  A.  3   2  2   3 . 3ln2 2ln3  x   x  C    B.   72 ln72  x  C    C.  3   2  2 .3 ln6  x   x  C    D.   ln72 72 x   C   Câu 11:   Nguyên   hàm   của   hà m   số              1 2   3  3   .2 x   x  f   x   là:  A.  8 9 8 ln 9  x  C                   B.  9 8 3   8 ln 9  x  C                   C.  8 9 3   8 ln 9  x  C                   D.  8 9 3   9 ln 8  x  C                  Câu 12:   Nguyên   hàm   của   hà m   số             1  3  4  x x  f   x   là:  A.  4 3 3   3 ln 4  x  C                   B.  3 4 3 ln 4  x  C                   C.   2  x   C    D.  3 4 3   3 ln 4  x  C                  Câu 13:   Nguyên   hàm   của   hà m   số            3   .3 x   x  f   x   e   là:  A.             3 3  3 ln 3  x  e   C e      B.       3 3  3 ln 3  x  e   C e      C.            3  3 ln 3  x  e   C e      D.       3  3 ln3  x  e   C   Câu 14:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         2  1  3   3  x x  f   x                      là:  A.                    2  3   ln3 ln3   3  x x   C   B.                    3  1   3   1 3   ln3   3 ln3  x x   C  C.           9   1   2 2ln3   2.9 ln3  x x   x   C   D.                       1   1 9   2 2ln3   9  x x   x   C  Câu 15:   Nguyên   hàm   của   hà m   số         cos4 cos   sin4 sin f   x   x   x   x   x       là: www.toanmath.com

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Giáp Minh Đức

Kỹ thuật ‘chọn’ trong trắc nghiệm tích phân và số phức  Gv. Trần Lê Quyền 0  Một nguyên tắc cơ bản khi xây dựng nên các bài toán đại số chính là: thiết lập sự cân bằng giữa số ẩn số và số phương trình lập nên từ các dữ kiện. Lấy ý tưởng đó, bài viết này tổng hợp và giới thiệu vài cách xử lí nhanh một số bài toán số phức và tích phân bằng một kiểu chọn đặc biệt. Tôi cố tình không phân chia ra các đề mục để tách biệt giữa số phức và tích phân vì xét dưới góc nhìn này, chúng hoàn toàn giống nhau!  Ví dụ 1.   Cho hai số phức   z 1   =   a 1   +   b 1 i   và   z 2   =   a 2   +   b 2 i   ( a 1 , b 1 .a 2 , b 2      R )   thỏa mãn  | z 1   +   z 2 |   =   | z 1      z 2 |   =   m . Khi đó   a 1 a 2   +   b 1 b 2   bằng A. 0   B. 1   C.   m   D.   m 2      1  Giải.   Chọn   z 1   =   i, z 2   = 0   thỏa mãn   | z 1   +   z 2 |   =   | z 1      z 2 |   = 1   thì ta có  a 1 a 2   +   b 1 b 2   = 0 . 0 + 1 . 0 = 0 .  Chọn A. Ví dụ 2.   Cho hai số phức   z 1 , z 2   thỏa mãn   | z 1 |   =   | z 2 |   =   | z 1      z 2 |   = 1 . Tính giá trị của biểu thức   P   =  (   z 1  z 2  ) 2  +  (   z 2  z 1  ) 2  . A.   1      i   B.    1      i   C.    1   D.   1 +   i  Giải.   Chọn   z 2   = 1   (thỏa mãn   | z 2 |   = 1 ). Vẫn còn lại 2 dữ kiện để khai thác, thế nên    z 1   =   x   +   yi   ( x, y      R ) , ta có      | z 1 |   = 1  | z 1      z 2 |   = 1         x 2   +   y 2   = 1 ( x      1) 2   +   y 2   = 1           x   = 1 2  y   =   3 2  Vậy chọn   z 1   = 1 2 +   3 2   i . Bây giờ thay vào   P   ,  P   =  (   1 2   +   3 2   i  1  ) 2  +  (  1  1 2   +   3 2   i  ) 2  =    1 .  Chọn C.  0 Nhận luyện thi theo nhóm hoặc cá nhân khu vực Q6, TP.HCM   01226678435  1Sau khi cố định   z 2 , chúng ta vẫn còn lại 2 dữ kiện (cho phép lập được 2 phương trình). Số phương trình này cân bằng với số ẩn số (phần thực, phần ảo) cần để xác    z 1 . Ngoài ra, có thể chọn   z 2   khác đi, miễn sao đảm bảo   | z 2 |   = 1 . Dưới đây là một ví dụ hoàn toàn tương tự 1 nhưng được phát biểu khác đi.  Ví dụ 3.   Cho   z 1 , z 2   là hai số phức thoả mãn phương trình   | 2 z      i |   =   | 2 +   iz | , biết  | z 1      z 2 |   = 1 . Tính giá trị của biểu thức   P   =   | z 1   +   z 2 | .  A.   3 2   B.    2   C.   2 2   D.    3  Giải.      z   =   x   +   yi , từ liên hệ   | 2 z      i |   =   | 2 +   iz |   ta thu được   x 2   +   y 2   = 1   hay  | z 1 |   =   | z 2 |   = 1 , kết hợp với   | z 1      z 2 |   = 1   ta lại chọn   z 1   = 1 2 +   3 2   i, z 2   = 1     P   =    3 . Ví dụ 4.   Cho ba số phức   z 1 , z 2 , z 3   thỏa mãn   z 1   +   z 2   +   z 3   = 0   và   | z 1 |   =   | z 2 |   =   | z 3 |   = 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 2   +   z 3 | 2   +   | z 3   +   z 1 | 2   là số thuần ảo. B.   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 2   +   z 3 | 2   +   | z 3   +   z 1 | 2   là số nguyên tố. C.   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 2   +   z 3 | 2   +   | z 3   +   z 1 | 2   là số thực âm. D.   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 2   +   z 3 | 2   +   | z 3   +   z 1 | 2   = 1 .  Giải.   Chọn   z 3   = 1 , khi đó ta có   z 1   +   z 2   =    1   nên có thể viết  z 1   =   x   +   yi, z 2   =    1      x      yi   ( x, y      R ) .  Khai thác điều kiện   | z 1 |   =   | z 2 |   = 1         x 2   +   y 2   = 1 (  1      x ) 2   +   y 2   = 1           x   =    1 2  y   =   3 2  Vậy chọn   z 1   = 1 , z 2   =    1 2 +   3 2   i, z 3   =    1 2     3 2   i , thấy chỉ có B đúng.  Với cùng cách chọn này, ta cũng xử lí được cho bài toán sau:  Ví dụ 5.   Cho ba số phức   z 1 , z 2 , z 3   thỏa mãn   z 1   +   z 2   +   z 3   = 0   và   | z 1 |   =   | z 2 |   =   | z 3 | . Mệnh  A.   | z 2 1   +   z 2 2   +   z 2 3   |   =   | z 1 z 2   +   z 2 z 3   +   z 3 z 1 |   B.   | z 2 1   +   z 2 2   +   z 2 3   |   <   | z 1 z 2   +   z 2 z 3   +   z 3 z 1 |  C.   | z 2 1   +   z 2 2   +   z 2 3   |   >   | z 1 z 2   +   z 2 z 3   +   z 3 z 1 |   D.   | z 2 1   +   z 2 2   +   z 2 3   | 6   =   | z 1 z 2   +   z 2 z 3   +   z 3 z 1 |  Ví dụ 6.   Cho số phức   z   thỏa mãn      z 3   + 1  z 3           2 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số  2

Kỹ thuật CHỌN trong trắc nghiệm tích phân và số phức – Trần Lê Quyền

PHÂN   LOẠ   I   DẠ   NG   VÀ  PHƯƠNG   PHÁ   P   GIẢ   I NHANH  BIÊN   HOÀ      Ngà   y   27   thá   ng   11   năm   2017  TÀI   LIỆU L  U HÀNH NỘI BỘ  Chuyeân     TẬP   11     h    t       0914449230 (Zalo      facebook)  Gv. ThS Nguy  n Vũ Minh      SƢU T  M và BIÊN SO  N   2018  1) Định nghĩa :   F(x) là nguyên hàm của hàm số   f(x) trên (a; b)    ................................  2) H    nguyên hàm :   , v   3) B  Hàm cơ bả n :   Hàm chứ a (ax + b) dx   x   C          x x .dx   C     1                   1 (ax   b) ax   b   dx   C a      1              dx   ln x   C x        dx   1 ln ax   b   C ax   b   a           2  dx   1 x   x   C      2  dx   1   1 .   C (ax   b)   a ax   b           dx   2   x   C x        dx   2   ax   b   C a ax   b            x x   a a dx   C lna       ax   b ax   b   1 a a   dx   C a   lna           x   x  e dx   e   C      ax   b   ax   b 1 e   dx   e   C a            sinx.dx   cosx   C      1 sin(ax   b).dx   cos(ax   b)   C a             cosx.dx   sinx   C      1 cos(ax   b).dx   sin(ax   b)   C a             2  dx   tanx   C cos x        2  dx   1 tan(ax   b)   C cos (ax   b)   a           2  dx   cotx   C sin x        2  dx   1 cot(ax   b)   C sin (ax   b)   a            Ph  n 01 :   NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN B  T Đ  NH)

Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Vũ Minh (Tập 1)

NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN T  NG PH  N   Ngô Quang Chi  n  Trang 1/7  GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN  PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM     SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO  I.   NHẮC LẠI KIẾN THỨC   . 1.   Công thức : udv   vu   vdu         2.   Á   p dụng với các dạng nguyên hàm : ( ).   ax   b  p x e   dx      ; ( ).sin(   ) p x   ax   b dx       ; ( ).cos(   ) p x   ax   b dx      ; ( ).ln (   ) n  p x   ax   b dx       ;...  3.   Cách đặt   :           logarit      ln   _    ( ( )) p x   _   lượng giác      sin   ,cos x   x  _ mũ      x  e   .   Nhất    ,   tứ        Phần còn lại là     II.   PHƯƠNG PHÁP   . 1.   Chia thành 2 cột     Cột   1 (cộ   t t rái   :   cộ t u) luôn lấy đạo hàm tới 0     Cột   2 (cột phải :   cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứ ng với cột 1  2.   Nhân   chéo kết quả của hai cột với nhau.  3.   Dấu của phép nhân đ      u tiên sẽ có   d    u (+), sau đó đan dấu (   -), (+), (-) ...  III.   PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ   .  Dạng 1 : ( ).   ax   b  f x e   dx     VD1:   Tính nguyên hàm : 2  (2   3).   x  I   x   e dx      (đạo hàm ) 2  2   3 u   x       dấu   (nguyên hàm) x  dv   e dx  4 x  + x  e  4   - x  e  0   + x  e 2  (2   3)   4 .   4 x   x   x  I   e   x   x e   e   C                 2  (2   4   1) x  e   x   x   C            VD2:   Tính nguyên hàm : 2  3  (   2 ).   x  I   x   x e   dx      Ta biến đổ   i đưa I về dạng thuần tuý : 2   2  2   2   2 1 (   2).   .   (   2).   (   ) 2  x   x  I   x   e   xdx   x   e   d x              2  u   x  1 (   2).   . 2  u  I   u   e   du       NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN T  NG PH  N   Ngô Quang Chi  n  Trang 2/7  GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN  (đạo hàm ) 2 u      dấu   (nguyên hàm) u  e 1  + u  e  0   - u  e 2   2  (   2)   1 .(   1)   (   1)  u   u u   x  I   e   u   e   C e   u   C   e   x   C                                VD3:   Tính nguyên hàm 3   2   1  .   x  I   x   e   dx     Ta biến đổi 3   2   1 1   (2 )   (2 ) 16  x  I   x   e   d   x       2 x   u  3   1   3 1   .   . 16   16  u   u e I   u e   du   u e du              (đạo hàm ) 3  u   dấu   (nguyên hàm) u  e 2  3 u  + u  e 6 u  - u  e 6  + u  e 0  - u  e 3   2  .   3   .   6 .   6 16  u   u   u   u e I   u e   u e   u e   e   C                         1 3   2  (   3   6   6) 16  u  e   u   u   u   C                 2   1 3   2  (8   12   12   6) 16  x  e   x   x   x   C                  Dạng 2: ( ).sin(   )   ;   ( ).cos(   ) f x   ax   b dx   f x   ax   b dx            VD1:   Tín   h   nguyên hàm (2   1).cos I   x   xdx      (đạo hàm ) 2   1 x      dấu   (nguyên hàm) cos   x 2  + sin   x 0  - cos x  (2   1) sin   2(   cos   ) I   x   x   x   C                 (2   1)sin   cos x   x   x   C            VD2:   Tính nguyên hàm 2  (   2 ).sin I   x   x   xdx      (đạo hàm ) 2   2 x   x    dấu   (nguyên hàm) sin   x 2   2 x     + cos x  2  - sin   x  0  + cos   x 2  (   cos   )(   2 )   (2   2)(   sin   )   2 cos I   x   x   x   x   x   x   C                    2  cos   (   2   2)   (2   2)sin x   x   x   x   x   C                   

Tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo – Ngô Quang Chiến

N ̈m häc 201 7      201 8  Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y:  Ths. Lª V ̈n §oμn  0933.755.607  T aøi   li eäu luyeän thi   T hpt Quoác   G iaTaøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn   T.T Hoaøng Gia      56 ,   Phoá Chôï , P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM  Bieân soaïn & Giaûng daïy : Ths. Leâ Vaên Ñoaøn      0933.755. 607      0929. 031.789   Trang   -   1   -  Chuyeân ñeà     1.   NGUYEÂN HAØM VAØ PHÖÔNG PHAÙP TÌM NGUYEÂN HAØM      Khái ni   1.   Khái ni      Cho hàm số   ( ) f x   xác định trên   . K   Hàm số   ( ) F x      nguyên hàm   của   hàm s   ( ) f x   trên   K   nếu:   ( )   ( ),   . F   x   f x   x   K               Nếu   ( ) F x   là một nguyên hàm của   ( ) f x   trên   K   thì   họ nguyên hàm   của   hàm s    ( ) f x   trên  K   là:   ( )d   ( )   ,   . f x   x   F x   C   const   C                2.   Tính   ch  : N    ( ),   ( ) f x   g x   là hai   hàm s    K   và   0 k      thì   ta luôn có:     ( )d   ( )   , f   x   x   f x   C           ( )d   ( )   , f   x   x   f   x   C            ( )d   ( )   ,.... f   x   x   f   x   C              ( )d   .   ( )d , kf x   x   k   f x   x        v    k   là s    0.     ( )   ( ) d   ( )d   ( )d . f x   g x   x   f x   x   g x   x                               ( )   ( ) F   x   f x       (đ   B      (với   C   là hằng số tùy ý)     0d   . x   C         d   . k   x   kx   C         1  d   .  1  n  n   x  x   x   C  n                1  1 (   )  (   ) d   .  1  n  n   ax   b  ax   b   x   C  a   n                    1   d   ln   . x   x   C  x              1   1  d   ln   . x   ax   b   C  ax   b   a                2  1   1  d   . x   C  x x              2  1   1   1  d   .  (   )   x   C  a   ax   b ax   b                   sin   d   cos   . x   x   x   C            1  sin(   )d   cos(   )   . ax   b   x   ax   b   C  a                 cos d   sin   . x   x   x   C            1  cos(   )d   sin(   )   . ax   b   x   ax   b   C  a                 2  1   d   cot   .  sin   x   x   C  x              2  d   1   cot(   )   .  sin (   )  x   ax   b   C  a ax   b                  2  1   d   tan   .  cos   x   x   C  x              2  d   1   tan(   )   .  cos (   )  x   ax   b   C  a ax   b                  d   . x   x  e   x   e   C            1  d   . ax   b   ax   b  e   x   e   C  a                d   .  ln  x  x   a  a   x   C  a             1  d   .  ln  x  x   a  a   x   C  a                            Nh  .   Khi thay   x   bằng   (   ) ax   b    thì   khi   lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm   1  a     NGUYEÂN HAØM      TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG   DUÏNG 3

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lê Văn Đoàn

ST&BS : Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm-Tích Phân-  ng D  ng File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS : Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm-Tích Phân-  ng D  ng File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  M  C L  C  NGUYÊN HÀM NÂNG CAO ........................................................................................................... 3  A – LÝ THUY  ............................................................................................................ 3  B – BÀI T   ..................................................................................................... 4  TÍCH PHÂN NÂNG CAO .............................................................................................................. 15  A – LÝ THUY  .......................................................................................................... 15  B – BÀI T   ................................................................................................... 16     ........................................................................................ 55  A – LÝ THUY  .......................................................................................................... 55  B – BÀI T   ................................................................................................... 55     .................................................................................................................. 87

Trắc nghiệm nâng cao nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Câu   1:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số         ln F   x   x    ?  A.         . f   x   x    B.         1   . f   x   x     C.         3  .  2  x  f   x      D.         . f   x   x   Lời   giải  Chọn   B    Câu   2:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Cho       f   x   ,       g   x   là các hàm số xác       . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?  A.                         d   d .   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x           .   B.             2   d   2   d f   x   x   f   x   x        .  C.                         d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x                         .   D.                         d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x                         .  Lời   giải  Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.  Câu   3:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Nếu         1   l d   n   x   C  x  f   x   x             thì      f   x   là  A.         ln f   x   C x   x          .   B.         1   ln x   x   C  x  f   x               .  C.         2 1   ln f   C x x   x          .   D.         2  1  f   x   x x       .  Lời   giải  Chọn   D  Ta có   2   2 1   1   1   1 ln   x  x   C x   x   x   x                                 , suy ra         2  1 x  f   x   x       là hàm số cần tìm.  Câu   4:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Hàm số         3  x  F   x   e    là một nguyên hàm của hàm số:  A.         3  x  f   x   e    .   B.         3  2 3   .   x  f   x   x   e    .   C.        3  2  3  x  e  f   x   x     .   D.         3 3   1 .   x f   x   x e        .  Lời   giải  Chọn   B  Ta có                    3   3   3 3   2 .   3   .   , x   x   x F   x   e   x   e   x   e   x                        .  Câu   5:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Nếu         3 d   3  x x f   x   x   e   C           thì      f   x   bằng:  A.         2   x  f   x   x   e       .   B.         4 3  x x f   x   e       .   C.         2 3   x  f   x   x   e       .   D.         4 12  x x f   x   e       .  Lời   giải  Chọn   ATa có              3   3 2 d   3   3  x   x   x x   x f   x   x   e   C   f   x   e   C   x   e                                           .  Câu   6:   (THPT   Yên   Lạc-Vĩnh   Phúc-lần   1-năm   2017-2018)   Tìm   m           3   2 4   4   6 16   2   1   0. x   x   x   m                        A.   . m         B.   1   16   2 . 2  m      C.   41   1   16   2 . 2   2  m             D.   41. 2  m     Lời   giải Chọn   C         4; 4 x      . Đặt   4   4 t   x   x             ,   ta có   2   2;4 t             .  Ta có   2   2 2 16   8 t   x          2   2 2 16   8. x   t            Phương trình đã cho trở thành       3   2 3   8   2   1   0 t   t   m                3   2 2   3   25. m   t   t            Xét hàm số             3   2   2 3   25   3   6 . f   t   t   t   f   t   t   t                   Ta có      2 3   6   0,   2   2; 4 f   t   t   t   t                         nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi            4   2   2   2 f   m   f          41   2   1   16   2 m          41   1   16   2   .  2   2  m            Câu   7:   (THPT   Yên   Lạc-Vĩnh   Phúc-lần   1-đề   2-năm   2017-2018)   Tìm   m           3   2 4   4   6 16   2   1   0. x   x   x   m                        A.   . m         B.   1   16   2 . 2  m      C.   41   1   16   2 . 2   2  m             D.   41. 2  m     Lời giải Chọn C        4; 4 x      . Đặt   4   4 t   x   x             , ta có   2   2;4 t             . Ta có   2   2 2 16   8 t   x          2   2 2 16   8. x   t            Phương trình đã cho trở thành       3   2 3   8   2   1   0 t   t   m                3   2 2   3   25. m   t   t            Xét hàm số             3   2   2 3   25   3   6 . f   t   t   t   f   t   t   t                   Ta có      2 3   6   0,   2   2; 4 f   t   t   t   t                         nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi            4   2   2   2 f   m   f          41   2   1   16   2 m          41   1   16   2   .  2   2  m            Câu   8:   (THPT   Hai   Bà   Trưng-Vĩnh   Phúc-lần   1-năm   2017-2018)   Tìm tập xác định của hàm số        1  3 1   . y   x      A.       D   \ 1 .       B.       D   1;   .       C.   D   .       D.       D   \ 0 .      Lời   giải  Chọn   B

Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018

`  CÁC BÀI TOÁN  NGUYÊN   HÀM   TÍCH   PHÂN   V  N  D  NG      V  N D  NG   CAO  T  P CHÍ VÀ TƯ LI  U TOÁN H  C  CHINH PH  C OLYMPIC TOÁNL  I GI  I THI  U  Trong đề   thi th    c    thi THPT Qu  c Gia thì các bài toán v    ch      nguyên hàm tích phân chi  m kho  ng 7 câu t    d     n khó, nh  m giúp b  c ph  n nào có cái nhìn toàn di  n v    các câu h  i liên quan t  i v    này   trong các đề   thi c  a r  i  và đồ ng th  i có thêm nhi  u ki  n th    này mình đã đề  c  p t  i r  t nhi  u các v    khó như các bài toán liên quan tới phương trình vi phân, bấ t   ng th       có th    vi  c   chuyên đề   này không th    không có s    tham kh  o t    các ngu  n tài li  u c  a các các group, các khóa h  c, tài li  u c  a các th  y cô mà tiêu bi  u là 1.   Th  y Lã Duy Ti  n      Giáo viên trườ ng THPT Bình Minh 2.   Group Nhóm toán: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/ 3.   Group Hs Vted.vn: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/ 4.   Group Nhóm Toán và Latex: https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/ 5.   Website Toán h  c B  c      Trung      Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ 6.   Website Toanmath: https://toanmath.com/ 7.   Anh Ph  m Minh Tu  n: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 8.   Th  y Lê Phúc L    - Công tác t  i phòng R&D Công ty Fsoft thu  c t   9.   Th  ng Thành Nam      Gi  ng viên Vted 10.   Th  y Hu  c Khánh 11.   Th  y Nguy  n Thanh Tùng 12.   B  n Nguy  n Quang Huy      Sinh viên đạ i h  c bách khoa Hà N  i Trong bài vi  t mình có   sưu tầ m t    nhi  u ngu  n nên có th    s    có nh  ng câu h   ho  p mong b  c b    qua. Trong quá trình biên so  n không th    tránh kh  i nh  ng thi  u sót, mong b  c có th    góp ý tr  c ti  p v  i mình qua    a ch    sau:  Nguy  n Minh Tu  n  Sinh viên K14      Khoa h  c máy tính       i h  c FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ B  n pdf    c phát hành mi  n phí trên blog CHINH PH  C OLYMPIC TOÁN, m  i ho  t   ng s    d  ng tài li  u vì m  u không    c cho phép. Xin chân thành c  c.

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia - CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHÚC VẬN DỤNG CAO  Trang 1    Kỳ thi THPT Quốc gia từ năm 2016 – 2017, bài thi môn Toán chuyển từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm nên trong cách dạy, cách kiểm tra đánh giá, cách ra đề cũng thay đổi. Sự thay đổi đó nằm trong toàn bộ chương trình môn Toán nói chung và trong phần tích phân nói riêng. Trong phần tích phân nếu cho bài như phần tự luận thì học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để cho kết quả dễ dàng. Do đó việc ra đề theo hình thức trắc nghiệm và hạn chế việc dùng máy tính cầm tay được ưu tiên trong toán THPT. Trong đề thi THPTQG 2017, ta thấy xuất hiện một bài toán lạ về tích phân. Nó cũng rất thú vị khi giúp ta đi sâu tìm thêm về ứng dụng của tích phân. Trong tài liệu này xin giới thiệu với các bạn các bài toán liên quan đến so sánh các giá trị của hàm số       y   f   x    khi biết đồ thị của hàm số         . y   f   x     Phương pháp chung cho các bài toán như thế này, một cách tự nhiên ta thầy rằng để so sánh được các giá trị của hàm số thì sử dụng bảng biến thiên là đơn giản nhất, vì khi đó ta nhìn thấy được hàm số đồng biến hay nghịch biến. Ngoài ra ta kết hợp thêm phần diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường liên quan. Với mục đích giúp các em học sinh trung học phổ thông nói chung, các bạn học sinh đam mê Toán nói riêng có thêm tài liệu  học Bắc Trung Nam chúng tôi sưu tầm và biên soạn cuốn sách “ Chuyên đề Tích phân và Số phức vận dụng cao   Chuyên đề 1.   CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.  Chuyên đề 2 . CÁC BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA MỘT HÀM SỐ KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN.  Chuyên đề 3 .      Chuyên đề 4 . ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ.  Chuyên đề 5 .    VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ.  Chuyên đề 6 .    THỰC TIỄN KHÁC.  Chuyên đề 7 .   BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN.  Chuyên đề 8 . SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC.  Chuyên đề 9 .   PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.

Tuyển tập chuyên đề tích phân và số phức vận dụng cao

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN   NGUYÊN HÀM   &   PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  MỤC LỤC  PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 2  Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)   ................................................................................................... 2  Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện  ................................................................................................ 2  Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện  ......................................................................................................... 11  Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm   ...................................................................................... 16  Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện  .......................................................................................................... 16  Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 17  Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm  ..................................................................................... 18  Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 18  Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 21  Dạng 4. Nguyên hàm từng phần  ..................................................................................................................................... 22  Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 22  Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 25  Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán  ..................................................................................................................... 26  Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm  .............................................................................................. 30  PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO   ............................................................................................................................... 33  Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)   ................................................................................................. 33  Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện  .............................................................................................. 33  Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện  ......................................................................................................... 38  Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm   ...................................................................................... 44  Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện  .......................................................................................................... 44  Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 45  Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm  ..................................................................................... 47  Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 47  Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 51  Dạng 4. Nguyên hàm từng phần  ..................................................................................................................................... 53  Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 53  Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ..................................................................................................................... 57  Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán  ..................................................................................................................... 60  Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm  .............................................................................................. 69CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện Câu 1.   (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số         4   2  f   x   x   x       là A.   5   3 1   1 5   3  x   x   C       B.   4   2  x   x   C       C.   5   3  x   x   C       .   D.   3 4   2 x   x   C     Câu 2.   (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số         2   4 f   x   x       là A.   2  x   C    .   B.   2 2 x   C    .   C.   2 2   4 x   x   C       .   D.   2   4 x   x   C       . Câu 3.   (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số         2   6 f   x   x       là A.   2  x   C    .   B.   2   6 x   x   C       .   C.   2 2 x   C    .   D.   2 2   6 x   x   C       . Câu 4.   (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số            2 sin f   x   x   . A.          2 sin   2 cos xdx   x   C   B.          2 sin   2 cos xdx   x   C  C.          2 2 sin   sin xdx   x   C   D.          2 sin   sin 2 xdx   x   C  Câu 5.   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số         3  f   x   x   x       là A.   4   2 1   1 4   2  x   x   C       B.   2 3   1 x   C       C.   3  x   x   C       D.   4   2  x   x   C     Câu 6.   (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số         2   3 f   x   x       là A.   2   3 x   x   C       .   B.   2 2   3 x   x   C       .   C.   2  x   C    .   D.   2 2 x   C    . Câu 7.   (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số         2   1. f   x   x      A.              2 2   1   2   1   . 3  f   x dx   x   x   C              B.              1 2   1   2   1   . 3  f   x dx   x   x   C             C.         1   2   1   . 3  f   x dx   x   C           D.         1   2   1   . 2  f   x dx   x   C          Câu 8.   (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số         2 2 2  f   x   x   x        . A.         3   1 d   3  x f   x   x   C x            .   B.         3   2 d   3  x f   x   x   C x            .

Các dạng toán nguyên hàm thường gặp trong kỳ thi THPTQG

https://toanmath.com/  TÍCH PHÂN C  A HÀM    N BÀI T  P D  NG 1: ÁP D  T NGUYÊN HÀM Câu 1:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   { } \ 1    th  a mãn   (   )   1 1  f   x   x     =      ,   (   ) 0   2017 f   =   ,   (   ) 2   2018 f   = . Tính   ( )   (   ) 3   1 S   f   f =         .  A.   1 S   =   .   B.   ln 2 S   =   .   C.   ln 4035 S   =   .   D.   4 S   =   .  Câu 2:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   1 \   2                  th  a mãn   (   )   2 2   1  f   x   x     =      và   (   ) 0   1 f   =   . Giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   ( ) 1   3 f   f    +   b  ng  A.   4   ln15 +   .   B.   3   ln15 +   .   C.   2   ln15 +   .   D.   ln15   .  Câu 3:   Cho hàm s    ( ) f   x   xác đị nh trên   1 \   2                  th  a mãn   2 ( )   2   1  f   x   x     =      ,   (0)   1 f   =   và   (1)   2 f   =   . Giá tr    c  a bi  u th  c   ( 1)   (3) f   f    +   b  ng  A.   4   ln 5 +   .   B.   2   ln15 +   .   C.   3   ln15 +   .   D.   ln15.  Câu 4:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên      th  a mãn   (   )   2   1 f   x   x    =   +   và   ( ) 1   5 f   =   . Phương trình  (   )   5 f   x   =   có hai nghi  m   1 x   ,   2 x   . Tính t  ng   2   1   2   2 log   log S   x   x =   +   .  A.   1 S   =   .   B.   2 S   =   .   C.   0 S   =   .   D.   4 S   =   .  Câu 5:   Cho hàm s    ( ) f   x   xác đị nh trên   1 \   3                  th  a mãn   (   )   (   )  3   ,   0   1 3   1  f   x   f x     =   =    và   2   2 3  f                 . Giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   ( ) 1   3 f   f    +   b  ng  A.   3   5ln 2 +   .   B.   2   5ln 2    +   .   C.   4   5ln 2 +   .   D.   2   5ln 2 +   .  Câu 6:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   {   } \   2; 2     và th  a mãn   (   )   (   ) 2 4   ;   3   0 4  f   x   f x     =      =    ;   (   ) 0   1 f   = và   ( ) 3   2 f   =   . Tính giá tr    bi  u th  c   (   )   (   )   (   ) 4   1   4 P   f   f   f =      +      +   .  A.   3 3   ln 25  P   =   +   .   B.   3   ln 3 P   =   +   .   C.   5 2   ln 3  P   =   +   .   D.   5 2   ln 3  P   =      .  Câu 7:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   {   } \   2;1     th  a mãn   (   )   2 1 2  f   x   x   x     =   +      ;   (   )   ( ) 3   3   0 f   f       = và   (   )   1 0   3  f   =   . Giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   (   )   (   ) 4   1   4 f   f   f    +         b  ng  A.   1   1 ln 2 3   3  +   .   B.   1   ln 80 +   .   C.   1   4 1   ln 2   ln 3   5  +   +   .   D.   1   8 1   ln 3   5  +   .  Câu 8:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   {   } \   1;1     và th  a mãn   (   )   2 1 1  f   x   x     =      ;   (   )   ( ) 3   3   0 f   f    +   = và   1   1   2 2   2  f   f               +   =                       . Tính giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   (   ) 0   4 P   f   f =   +   .  A.   3 2   ln 5  P   =   +   .   B.   3 1   ln 5  P   =   +   .   C.   1   3 1   ln 2   5  P   =   +   .   D.   1   3 ln 2   5  P   =   .  Câu 9:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   {   } \   1     th  a mãn   (   )   2 1 1  f   x   x     =      . Bi  t   (   )   ( ) 3   3   0 f   f    +   = và   1   1   2 2   2  f   f               +   =                       . Giá tr    (   )   (   )   (   ) 2   0   4 T   f   f   f =      +   +   b  ng:https://toanmath.com/  A.   1   5 2   ln 2   9  T   =   +   .   B.   1   9 1   ln 2   5  T   =   +   .   C.   1   9 3   ln 2   5  T   =   +   .   D.   1   9 ln 2   5  T   =   .  Câu 10:   Cho hàm s    (   ) f   x   nh  n giá tr    dương, có đạ o hàm liên t  c trên   (   ) 0;   +∞   th  a mãn   (   )   1 2   15  f   = và   (   )   (   )   (   ) 2 2   4   0 f   x   x   f   x    +   +   =   . Tính   ( )   (   )   ( ) 1   2   3 f   f   f +   +   .  A.   7 15   .   B.   11 15   .   C.   11 30   .   D.   7 30   .  Câu 11:   Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh và liên t  c trên      . Bi  t   (   )   (   ) 6   .   12   13 f   x   f   x   x    =   +   và   (   ) 0   2 f   =   .  Khi đó phương trình   (   )   3 f   x   =   có bao nhiêu nghi  m?  A.   2   .   B.   3   .   C.   7   .   D.   1 .  Câu 12:   Cho   hàm   s    (   ) f   x   xác    nh   trên      th  a   mãn   (   )   e   e   2 x   x f   x       =   +      ,   (   ) 0   5 f   =   và 1 ln   0 4  f                 . Giá tr    c  a bi  u th  c   (   )   (   ) ln16   ln 4 S   f   f =      +   b  ng  A.   31 2  S   =   .   B.   9 2  S   =   .   C.   5 2  S   =   .   D.   (   )   (   ) 0 .   2   1 f   f   =   .  Câu 13:   Cho   hàm   s    (   ) f   x   liên   t    không      trên    n   0; 2                 ,   th  a   mãn   (   ) 0   3 f   =   và  (   )   (   )   (   ) 2 .   cos   . 1 f   x   f   x   x   f   x    =   +   ,   0; 2  x                 . Tìm giá tr    nh    nh  t   m   và giá tr    l  n nh  t   M  c  a hàm s    (   ) f   x   trên đoạ n   ; 6   2                    .  A.   21 2  m   =   ,   2   2 M   =   .   B.   5 2  m   =   ,   3 M   =   .  C.   5 2  m   =   ,   3 M   =   .   D.   3 m   =   ,   2   2 M   =   .  Câu 14:   Cho hàm s    (   ) f   x   có đạ o hàm liên t  c trên      và th  a mãn   (   )   0 f   x   >   ,   x       . Bi  t   (   ) 0   1 f   = và   (   ) (   ) '   2   2  f   x   x f   x   =      . Tìm các giá tr    th  c c  a tham s    m      phương trình   (   ) f   x   m =   có hai nghi  m th  c phân bi  t.  A.   m   e >   .   B.   0   1 m <      .   C.   0   m   e <   <   .   D.   1   m   e <   <   .  Câu 15:   Cho hàm s    (   ) f   x   liên t  c trên      và   (   )   0 f   x      v  i m  i   x         (   )   (   )   (   ) 2 2   1 f   x   x   f   x    =   +   và  ( ) 1   0,5 f   = −   . Bi  t r  ng t  ng   ( )   (   )   ( )   (   ) 1   2   3   ...   2017   a f   f   f   f   b  +   +   +   +   =   ;   (   ) , a   b           v  i   a b t  i gi  n. M    nào dưới đây đúng?  A.   1 a   b +   = −   .   B.   (   ) 2017; 2017 a      .   C.   1  a b   < −   .   D.   4035 b   a    =   .  Câu 16:   Cho hàm s    (   )   0 f   x      th  u ki  n   (   )   (   )   (   ) '   2 2   3 . f   x   x   f   x =   +   và   (   )   1 0   2  f    =   . Bi  t t  ng  ( )   (   )   (   )   (   ) 1   2   ...   2017   2018   a f   f   f   f   b  +   +   +   +   =   v  i   * , a   b           và   a b   là phân s    t  i gi  n. M  nh     nào sau đây đúng?  A.   1  a b   < −   .   B.   1  a b   >   .  C.   1010 a   b +   =   .   D.   3029 b   a    =   .

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI THỬhttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 3-Giải tích 12  NỘI DUNG CÂU HỎI  Câu 1.   Tính tích phân   I   =    2   0  (sin 2 x   + sin   x ) d x  A .   I   = 5 .   B .   I   = 3 .   C .   I   = 4 .   D .   I   = 2 .  Lời giải.  Ta có:   I   =    2   0  (sin 2 x   + sin   x ) d x   =     1 2      cos 2 x      cos   x            2 0  = 2 . Chọn đáp án D     Câu 2.   Tính nguyên hàm   I   =       2 x 2      3  x    d x .  A .   I   = 2 3 x 3      3 ln   x   +   C .   B .   I   = 2 3   x 3      3 ln   | x |   +   C .  C .   I   = 2 3 x 3   + 3 ln   x   +   C .   D .   I   = 2 3   x 3   + 3 ln   | x |   +   C .  Lời giải.  I   =       2 x 2      3  x    d x   = 2 3   x 3      3 ln   | x |   +   C . Chọn đáp án   B     Câu 3.   Cho hai quả bóng   A, B   di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng   A   nảy ngược lại với vận tốc   v A ( t ) = 8      2 t   ( m/s )   và quả bóng   B   nảy ngược lại với vận tốc   v B   ( t ) = 12      4 t   ( m/s ) . Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).  A .   36   mét.   B .   32   mét.   C .   34   mét.   D .   30   mét.  Lời giải.  Thời gian quả bóng   A   chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn   v A ( t ) = 0      8  2 t   = 0      t   = 4 s . Quãng đường quả bóng   A   di chuyển   S A   =     4 0  (8      2 t ) d x   = 16 m  Thời gian quả bóng   B   chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn   v B   ( t ) = 0      12      4 t   = 0     t   = 3 s . Quãng đường quả bóng   B   duy chuyển   S B   =     3 0  (12      4 t ) d x   = 18 m  Vậy: Khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là   S   =   S A   +   S B   = 34 m . Chọn đáp án C     Câu 4.   Cho hàm số   y   =   f   ( x )   có đạo hàm trên   R   thỏa mãn   f  (     2  )  =    1   và với mọi   x      R   ta có  f    ( x )      f   ( x )      sin 2 x   =   f    ( x )      cos   x      f   ( x ) .   sin   x . Tính tích phân   I   =    4   0  f   ( x ) d x .  A .   I   = 1 .   B .   I   =    2      1 .   C .   I   =   2 2      1 .   D .   I   = 2 .  Lời giải.  Ta có   f    ( x )      f   ( x )      sin 2 x   =   f    ( x )      cos   x      f   ( x )      sin   x      f    ( x )      f   ( x )      sin 2 x   = [ f   ( x )      cos   x ]  . Lấy nguyên hàm hai vế:      [ f    ( x )      f   ( x )      sin 2 x ] d x   =      [ f   ( x )      cos   x ]    d x     f   2 ( x ) 2   + 1 2 cos 2 x   = cos   x      f   ( x ) +   C . Vì   f  (     2  )  =    1      C   = 0      f   2 ( x ) + cos 2 x   = 2 cos   x      f   ( x )      f   2 ( x )      2 cos   x      f   ( x ) + cos 2   x   = sin 2   x .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

MỤC LỤC  CHƯƠNG 3   NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   1  1.   NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 A   SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, BẢNG CÔNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 Dạng 1. Áp dụng bảng công thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 Dạng 2. Tách hàm dạng tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 Dạng 3. Tách hàm dạng phân thức thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 B   SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 Dạng 4. Đổi biến dạng hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 Dạng 5. Đổi biến dạng hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 Dạng 6. Đổi biến dạng hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 Dạng 7. Đổi biến dạng hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5 Dạng 8. Đổi biến dạng hàm mũ, hàm lô-ga-rit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 Dạng 9. Đổi biến dạng "hàm ẩn" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 C   SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 10. Nguyên hàm từng phần với ”u = đa thức” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 11. Nguyên hàm từng phần với ”u = lôgarit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 Dạng 12. Nguyên hàm kết hợp đổi biến số và từng phần   . . . . . . . . . . . . . . .   8 Dạng 13. Nguyên hàm từng phần dạng "lặp" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8 Dạng 14. Nguyên hàm từng phần dạng "hàm ẩn". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8 2.   TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 A   TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 Dạng 2. Tách hàm dạng tích thành tổng các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .   11 Dạng 3. Tách hàm dạng phân thức thành tổng các hàm cơ bản . . . . . . . . .   12 B   TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 Dạng 4. Đổi biến loại   t   =   u ( x )   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 Dạng 5. Đổi biến loại   x   =    ( t )   (Lượng giác hóa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14 Dạng 6. Đổi biến số dạng hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15 C   TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16 Dạng 7. Tích phân từng phần với "u = đa thức" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16 Dạng 8. Tích phân từng phần với "u = logarit" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 Dạng 9. Tích phân hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18 3.      19 A   TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19 Dạng 1. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   y   =   f ( x )   và   y   =   g ( x )   . . . . . . . .   19 Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . .   22 Dạng 3. Toạ độ hoá một số "mô hình" hình phẳng thực tế . . . . . . . . . . . . . .   22 B   TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ, KHỐI TRÒN XOAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23 Dạng 4. Tính thể tích vật thể khi biết diện tích mặt cắt vuông góc với   Ox   23     GV: Phùng V. Hoàng Em   Trang iDạng 5. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng quay quanh trục   Ox   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 Dạng 6. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26 C   MỘT SỐ BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27     GV: Phùng V. Hoàng Em   Trang ii

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Phùng Hoàng Em

EBOOK  CHINH PH  C  OLYMPIC TOÁN  T  P CHÍ VÀ TƯ LI  U TOÁN H  C  K    THU  T GI  I TOÁN  TÍCH PHÂNCHINH PH  C OLYMPIC TOÁN  K    THU  T GI  I TOÁN TÍCH PHÂN  T  U TOÁN H  C  EBOOK

Kỹ thuật giải toán tích phân

CĐ:   PP TÍNH TÍCH PHÂN   HOÀNG TUYÊN   & MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC   Trang | 1  7 DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN  MÔN   TOÁN      KH  I 12  266 CÂU HỎI  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  NĂM H  C: 2020      2021  CHINH PH  C K    THI THPT QU  C GIA  PHẦN 1CĐ:   PP TÍNH TÍCH PHÂN   HOÀNG TUYÊN   & MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC   Trang | 2  MỤC   LỤC     DẠNG TOÁN 1: TÌM TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN .........................3  DẠNG 1.1 ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐỂ GIẢI .........................................................................................3  DẠNG 1.2: ÁP DỤNG BẢNG CÔNG THỨC CƠ BẢN .......................................................................11     DẠNG TOÁN 2: TÌM TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ ........................................................18     DẠNG TOÁN 3: GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN .....................................25     DẠNG TOÁN 4: GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ .............................29  DẠNG 4.1. HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC ............................................................................................29  DẠNG 4.2. HÀM SỐ CHỨA HÀM LƯỢNG GIÁC .............................................................................37  DẠNG 4.3. HÀM SỐ CHỨA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT ......................................................................41  DẠNG 4.4. HÀM SỐ CHỨA HÀM SỐ ĐA THỨC, HỬU TỈ ...............................................................45  DẠNG 4.5. HÀM SỐ CHỨA HÀM SỐ KHÔNG TƯỜNG MINH (HÀM ẨN) ...................................47     DẠNG TOÁN 5: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ............................57  DẠNG 5.1. HÀM SỐ TƯỜNG MINH ...................................................................................................57  DẠNG 5.2. HÀM SỐ KHÔNG TƯỜNG MINH (HÀM ẨN) ................................................................66     DẠNG TOÁN 6: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH KẾT HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP .......76     DẠNG TOÁN 7: TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ KHÁC ...............................................87  DẠNG 7.1. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ...................................87  DẠNG 7.2. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIẾU CÔNG THỨC .......................................91  DẠNG 7.3. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHẴN, LẺ. ..........................................................................93

Nguyên hàm - tích phân